• Testes de permutação são baseados em reamostragem;
• Utiliza-se reamostragem sem reposição;
• São aplicados para testes de hipóteses gerais:\[ X_1, \dots, X_n \sim F \;\;\; e \;\;\; Y_1, \dots, Y_m \sim G\]\[ H_0: F = G \;\;\;vs.\;\;\; H_1: F \neq G\]
• Sob \(H_0\), \(X_1, \dots, X_n, Y_1, \dots, Y_m\) têm todas a mesma distribuição \(F\);
• Replicatas do teste de duas população são obtidas por reamostragem sem reposição;
• Testes de permutação podem ser realizados para averiguação de independência, homogeneidade, testes para mais de 2 grupos, etc.

• Suponha que:
  • \(X_1, \dots, X_n \sim F_X\)
  • \(Y_1, \dots, Y_m \sim F_Y\)
• Seja \(Z\) o conjunto ordenado \(\{X_1, \dots, X_n, Y_1, \dots, Y_m\}\) indexado pelos índices \(\nu = \{1, \dots, n, n+1, \dots, n+m\} = \{1, \dots, N\}\)
• Sob \(H_0\), a chance de selecionar \(n\) elementos de \(Z\) é\[ \frac{1}{\binom{N}{n}} = \frac{n!m!}{N!}\]

• Se \(\hat{\theta}(X,Y) = \hat{\theta}(Z, \nu)\) é uma estatística, então\[P(\hat{\theta} \leq t) = E(\hat{\theta} \leq t) = \frac{1}{\binom{N}{n}} \sum_{j=1}^N I(\hat{\theta}^{(j) \leq t} \leq t)\]
• Se \(\hat{\theta}\) é utilizado para testar uma hipótese e valores grandes de \(\hat{\theta}\) são significativos, então o teste de permutação rejeita a hipótese nula quando \(\hat{\theta}\) é relativamente grande comparado à distribuição das réplicas de permutação.
• O nível de significância alcançado (ASL) é:\[P(\hat{\theta}^{*} \geq \hat{\theta}) = \frac{1}{\binom{N}{n}} \sum_{j=1}^N I(\hat{\theta}^{(j)} \geq \hat{\theta})\]

1. Determine a estatística de interesse para a amostra em questão;
2. Para cada réplica:
   • Gere uma permutação aleatória;
   • Determine a estatística de interesse para a permutação obtida;
3. Se valores altos de \(\hat{\theta}\) são evidência em favor da alternativa, então determine o ASL como:\[ \hat{p} = \frac{1+\#{\hat{\theta}^{(b)}}{B+1}}\]
4. Rejeite \(H_0\) se \(\hat{p} \leq \alpha\).

Peso ao nascimento de frangos de acordo com 2 dietas:

attach(chickwts)
(x <- sort(as.vector(weight[feed == "soybean"])))

##  [1] 158 171 193 199 230 243 248 248 250 267 271 316 327 329

(y <- sort(as.vector(weight[feed == "linseed"])))

##  [1] 141 148 169 181 203 213 229 244 257 260 271 309

detach(chickwts)

R = 100
z = c(x, y)
K = length(z)
reps = vector("numeric", R)
t0 = t.test(x, y)$statistic
for (i in 1:R){
    k = sample(K, size=length(x), replace=FALSE)
    reps[i] = t.test(z[k], z[-k])$statistic
}
(p <- mean(c(t0, reps) >= t0))

## [1] 0.0990099