• Simular variáveis aleatórias (v.a.s.) é uma ferramenta fundamental em estatística computacional;
• Para simular v.a.s. de uma população finita, é preciso ser capaz de gerar dados de uma distribuição uniforme;
• Aqui assumiremos a disponibilidade de um gerador de uniforme (runif, no R);
• Para gerar n valores aleatórios entre \([0,1]\), utiliza-se runif(n);
• O R possui outros geradores: rnorm, rbeta, rgeom, etc; mas e quando a distribuição de interesse não estiver implementada?

Teorema: Se \(X\) é uma variável contínua com distribuição \(F_X(x)\), então \(U=F_X(x) \sim U(0,1)\).

Prova: Defina a transformada inversa como: \[F_X^{-1}(u) = \mbox{inf}\{x: F_X(x)=u\}, u \in (0, 1)\]

\[ \begin{aligned} P(F_X^{-1}(U) \leq x) & = P( \mbox{inf}\{t: F_X(t)=U\} \leq x) \\ & = P( U \leq F_X(x)) \\ & = F_U(F_X(x)) = F_X(x), \end{aligned} \]

portanto, \((F_X^{-1}(U))\) possui a mesma distribuição que \(U\). Então, para simular uma observação de \(X\), gera-se uma v.a. \(u=Uniforme(0,1)\) e retorna-se \(F_X^{-1}(u)\).

\[ \begin{aligned} f_X(x) & = 3x^2, \forall x\in (0,1) \\ F_X(x) & = x^3, \forall x \in (0,1) \\ F_X^{-1}(u) & = u^{1/3} \end{aligned} \]

• Geram-se \(u_1, \dots, u_n\) variáveis aleatórias \(U(0,1)\) (runif);
• Retornam-se \(u_i^{1/3}, i=1,\dots,n\).

No caso discreto, se \[ \dots < x_{i-1} < x_i < x_{i+1}, \dots \] são os pontos de descontinuidade de \(F_X(x)\), então a transformada inversa é \[ F_X^{-1}(u) = x_i,\] na qual \(F_X(x_{i-1}) < u \leq F_X(x_i)\).

\[ \begin{aligned} f(x) & = pq^x, & \mbox{para } x=0,1,\dots \\ F_X(x) & = 1 - q^x, & \mbox{para } x=0,1, \dots \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} 1-q^x & < & u & \leq & 1-q^{x+1} \\ q^x & < & 1-u & \leq & q^{x+1} \\ x & < & \frac{log(1-u)}{log(q)} & \leq & x+1 \end{aligned} \]

\[ x+1 = \left\lceil \frac{log(1-u)}{log(q)} \right\rceil \implies x = \left\lceil \frac{log(1-u)}{log(1-p)} \right\rceil - 1 \]

Obs: \(\lceil w \rceil\) é o menor inteiro maior ou igual que \(w\).

Suponha que deseja-se simular \(X\) que tem densidade \(f\):

1. Encontre uma variável aleatória \(Y\) com densidade \(g\) tal que \[\frac{f(t)}{g(t)} \leq c, \forall t:f(t)>0.\]
2. Para cada variável aleatória a ser gerada:

• Simule uma amostra \(y\) a partir de \(g\);
• Simule \(u \sim U(0,1)\);
• Se \(u < \frac{f(y)}{cg(y)}\), então retorne \(x=y\). Caso contrário, retorne para o Passo 2a.

\[ \begin{aligned} P(\mbox{Aceitar} | Y=y) & = P(U < \frac{f(y)}{cg(y)}) = \frac{f(y)}{cg(y)} \\ P(\mbox{Aceitar}) & = \sum_y P(\mbox{Aceitar} | Y=y) P(Y=y) \\ & = \frac{f(y)}{cg(y)}g(y) = \frac{1}{c} \\ P(k | \mbox{Aceito}) & = \frac{P(\mbox{Aceito}|k) g(k)}{P(\mbox{Aceito})} = \frac{\frac{f(k)}{cg(k)}g(k)}{\frac{1}{c}} = f(k) \end{aligned} \]

Gerar uma Beta(2,2). Assim, \(f(x) = 6x(1-x), \forall x\in(0,1)\). Se escolhermos \(g(y)=1, \forall y\in (0,1)\). Então: \[ \frac{f(t)}{g(t)} = \frac{6x(1-x)}{1} = 6x(1-x) < 6 = c. \]

Agora:

• Gerar \(y \sim U(0,1)\);
• Gerar \(u \sim U(0,1)\);
• Aceitar se \(u < \frac{f(y)}{cg(y)} = \frac{6y(1-y)}{6} = y(1-y)\);

Capítulo 3: Statistical Computing with R, Maria Rizzo.